Упражнение на моделирование — Игла Бюффона на Python

Приветствую, дорогие читатели! Сегодня мы поговорим о необычном и интересном эксперименте, который удивляет своей простотой и элегантностью. Знакомы ли вы с классическим примером вероятностного моделирования — задачей об Игле Бюффона? Если нет, то не переживайте. Мы разберем все детали этого эксперимента и покажем, как его можно реализовать на языке программирования Python. Вы увидите, как теория пересекается с практикой, и сможете сами провести этот эксперимент на своем компьютере.

Что такое Игла Бюффона?

Исторический контекст

Давайте начнем с небольшой истории. Задача об Игле Бюффона была предложена французским математиком Жоржем-Луи Леклерком де Бюффоном в 1777 году. Идея эксперимента проста: если вы бросаете иглу на пол, покрытый параллельными линиями, какова вероятность того, что игла пересечет одну из линий?

Основная идея

Итак, представьте себе пол, на котором нанесены параллельные линии с одинаковым интервалом. Бросаем на этот пол иглу длиной L. Задача заключается в том, чтобы выяснить вероятность того, что игла пересечет одну из этих линий. Это упражнение не только помогает лучше понять вероятностные процессы, но и дает возможность оценить значение числа π экспериментальным путем.

Математическая основа

Перед тем как перейти к программированию, важно понять математическую основу задачи. Давайте рассмотрим формулы, которые лежат в основе эксперимента.

Вывод формулы

Если d — расстояние между параллельными линиями, а L — длина иглы, то вероятность P пересечения иглой линии выражается формулой:

P = 2L / πd​

При этом важно учитывать два случая:

1. L ≤ d
2. L > d

Мы будем рассматривать первый случай, так как он более прост и распространен.

Реализация на Python

Теперь, когда у нас есть теоретическая база, давайте перейдем к практике и напишем код на Python.

Пишем код

Давайте шаг за шагом создадим программу, которая будет симулировать бросание иглы и вычислять вероятность пересечения линии.

import random
import math

def simulate_buffon_needle(num_trials, needle_length, line_distance):
    intersections = 0

    for _ in range(num_trials):
        # Центр иглы
        mid_point = random.uniform(0, line_distance / 2)
        # Угол падения иглы
        angle = random.uniform(0, math.pi / 2)
        # Половина длины иглы проецируемая на ось y
        y_proj = (needle_length / 2) * math.sin(angle)

        # Если половина длины иглы больше или равна расстоянию до ближайшей линии
        if y_proj >= mid_point:
            intersections += 1

    return (2 * needle_length * num_trials) / (line_distance * intersections) if intersections > 0 else 0

# Настройки эксперимента
num_trials = 1000000
needle_length = 1.0
line_distance = 2.0

# Запуск симуляции
estimated_pi = simulate_buffon_needle(num_trials, needle_length, line_distance)
print(f"Оценка числа π: {estimated_pi}")

Разбор кода

Давайте разберем, что делает каждая часть этого кода:

1. Импорт библиотек: Мы импортируем random для генерации случайных чисел и math для математических функций.
2. Функция simulate_buffon_needle: Эта функция выполняет основную работу по симуляции эксперимента.

• Переменная intersections: Считает количество пересечений иглы с линиями.
• Цикл for: Выполняет заданное количество бросков иглы.
• Генерация mid_point и angle: Определяет случайную позицию центра иглы и угол падения.
• Расчет y_proj: Вычисляет проекцию половины длины иглы на ось y.
• Проверка пересечения: Увеличивает счетчик пересечений, если игла пересекла линию.

1. Основной код: Определяет параметры эксперимента, запускает симуляцию и выводит результат.

Оптимизация и расширение

Улучшение точности

Как и в любом вероятностном эксперименте, чем больше бросков, тем точнее результат. Вы можете увеличить num_trials для повышения точности оценки числа π.

Визуализация

Для лучшего понимания процесса можно визуализировать результаты. Давайте добавим графики, используя библиотеку matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_and_plot_buffon_needle(num_trials, needle_length, line_distance):
    intersections = 0
    x_data = []
    y_data = []

    for _ in range(num_trials):
        mid_point = random.uniform(0, line_distance / 2)
        angle = random.uniform(0, math.pi / 2)
        y_proj = (needle_length / 2) * math.sin(angle)

        if y_proj >= mid_point:
            intersections += 1
            x_data.append(mid_point)
            y_data.append(y_proj)

    estimated_pi = (2 * needle_length * num_trials) / (line_distance * intersections) if intersections > 0 else 0

    # Визуализация
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.scatter(x_data, y_data, alpha=0.5, s=0.5)
    plt.xlabel('Положение центра иглы')
    plt.ylabel('Проекция длины иглы')
    plt.title(f'Оценка числа π: {estimated_pi}')
    plt.grid(True)
    plt.show()

    return estimated_pi

# Запуск симуляции с визуализацией
estimated_pi_with_plot = simulate_and_plot_buffon_needle(num_trials, needle_length, line_distance)
print(f"Оценка числа π с визуализацией: {estimated_pi_with_plot}")

Разбор визуализации

Здесь мы добавили новые элементы:

• Библиотека matplotlib: Импортирована для создания графиков.
• Списки x_data и y_data: Сохраняют данные для графика.
• Функция simulate_and_plot_buffon_needle: Дополнена визуализацией результатов.
• Метод plt.scatter: Создает точечный график для визуализации бросков иглы.

Эксперимент с Иглой Бюффона — это не только увлекательный способ изучения вероятности, но и отличный пример того, как можно использовать программирование для решения математических задач. Мы рассмотрели историю, математическую основу и практическую реализацию этого эксперимента на языке Python. Теперь вы можете провести этот эксперимент самостоятельно, улучшить точность расчетов и даже визуализировать результаты.

Попробуйте поэкспериментировать с различными параметрами: измените количество бросков, длину иглы или расстояние между линиями. Это поможет вам лучше понять, как эти параметры влияют на результаты и, возможно, откроет новые интересные аспекты этой классической задачи.

---

---