Типы распределения вероятностей в примерах на PHP

Если вы когда-либо задавались вопросом, как предсказать результаты случайных событий или как обработать данные с непредсказуемым поведением, то вероятностные распределения — это то, что вам нужно изучить. В этой статье мы разберем основные типы распределения вероятностей, используя примеры на языке PHP.

Распределение вероятностей — это математическая функция, описывающая вероятность различных исходов случайного события. Например, бросок монеты имеет два возможных исхода — орел или решка, каждый из которых с вероятностью 0.5. Но в реальной жизни случаи бывают куда сложнее, и для их анализа используются различные распределения.

Основные типы распределений

1. Равномерное распределение

Равномерное распределение подразумевает, что все исходы имеют одинаковую вероятность. Это как раз пример с монетой или броском кубика.

Пример на PHP

<?php
function randomFloat($min, $max) {
    return $min + mt_rand() / mt_getrandmax() * ($max - $min);
}

// Генерируем случайное число от 0 до 1
$randomNumber = randomFloat(0, 1);
echo $randomNumber;
?>

2. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение описывает число успехов в серии независимых экспериментов, каждый из которых имеет два возможных исхода — успех или неудача.

Пример на PHP

<?php
function binomial($n, $p) {
    $successes = 0;
    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        if (mt_rand() / mt_getrandmax() < $p) {
            $successes++;
        }
    }
    return $successes;
}

// 10 испытаний с вероятностью успеха 0.5
$successes = binomial(10, 0.5);
echo $successes;
?>

3. Нормальное распределение

Нормальное или Гауссово распределение является самым известным и широко используемым. Оно описывает распределение случайных величин, которые имеют тенденцию к среднему значению.

Пример на PHP

<?php
function gaussianRandom() {
    $u = mt_rand() / mt_getrandmax();
    $v = mt_rand() / mt_getrandmax();
    return sqrt(-2 * log($u)) * cos(2 * M_PI * $v);
}

// Генерируем случайное число с нормальным распределением
$randomNumber = gaussianRandom();
echo $randomNumber;
?>

4. Пуассоновское распределение

Пуассоновское распределение описывает вероятность определенного числа событий, происходящих в фиксированное время или пространственное измерение, если события происходят с известной средней частотой и независимы друг от друга.

Пример на PHP

<?php
function poisson($lambda) {
    $L = exp(-$lambda);
    $k = 0;
    $p = 1.0;

    do {
        $k++;
        $p *= mt_rand() / mt_getrandmax();
    } while ($p > $L);

    return $k - 1;
}

// Среднее число событий (lambda) равно 2.5
$events = poisson(2.5);
echo $events;
?>

5. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение используется для моделирования времени между независимыми событиями, которые происходят с постоянной средней скоростью.

Пример на PHP

<?php
function exponential($lambda) {
    $u = mt_rand() / mt_getrandmax();
    return -log(1 - $u) / $lambda;
}

// Среднее время между событиями (lambda) равно 1.5
$timeBetweenEvents = exponential(1.5);
echo $timeBetweenEvents;
?>

Применение распределений в реальных задачах

Генерация случайных данных для тестирования

Вы, наверное, не раз сталкивались с задачей генерации тестовых данных для проверки работы своего приложения. Использование различных распределений может помочь сделать эти данные более реалистичными.

Моделирование случайных процессов

В таких областях, как экономика, биология, и инженерия, моделирование случайных процессов является ключевым инструментом. Например, нормальное распределение часто используется для моделирования финансовых данных.

Оценка рисков

В страховой и банковской сферах важно оценивать риски. Например, Пуассоновское распределение может быть использовано для моделирования числа страховых случаев.

Обработка данных

При анализе данных может возникнуть необходимость в применении различных распределений для корректной интерпретации результатов. Экспоненциальное распределение, например, часто используется для анализа времени ожидания.

Понимание и применение распределений вероятностей является важным навыком для любого разработчика. В PHP, благодаря его гибкости и простоте, вы можете легко использовать эти распределения в своих проектах.

---

---